Prognosemodelle auf dem Prüfstand

Mean Variance genügt nicht – Extremereignisse treten häufiger auf, als von Modellen impliziert wird.

Impressum: Finanz und Wirtschaft, 11. Februar 2009, Nr. 11, Seite 20. Autor: André Kohler, Mitglied der GL der B+B Vorsorge AG, 8800 Thalwil, Investment Services

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Der Begriff «Mean-Variance» steht für den Zusammenhang  von Ertrag und Risiko von Vermögensanlagen: Die effektiv erzielten Erträge  bewegensich in einem Schwankungsbereich (Variance) um ihren Mittelwert (Mean) herum. Dieses Konzept der klassischen Kapitalmarkttheorie besagt, dass «Mean» als Rendite zu erwarten ist und das Risiko in der «Variance», einer temporären Abweichung vom «Mean», besteht. Mittelwert und Schwankungsmass – meistens wird die Standardabweichung  verwendet – beeinflussen im Anlageportfolio von der Konstruktion bis zur Resultatbeurteilung alle wesentlichen Vorgänge. Deshalb wäre es gut, wenn die Ergebnisse der Praxis die durch das Modell geweckten Hoffnungen validierten. Tun sie das wirklich?

Modelle sind Instrumente, die die Realität erklären sollen, damit Prognosen möglich werden. Die klassische Kapitalmarkttheorie gibt vor, alle erfolgsbestimmenden Elemente der Anlegerrealität – insbesondere auch Risiken – seien quantitativ erfassbar. Dass dies weder der allgemeinen Lebenserfahrung noch den Erkenntnissen der Verhaltenswissenschaften entspricht, ist nicht neu, wird jedoch ignoriert.

Wenn es jedoch schon ohne Zahlenmaterial, vorzugsweise in Form von Preiszeitreihen, keinen Output gibt, sollte dieser umso akkurater sein. Insbesondere sollte er keine Trugschlüsse im Hinblick auf die Sicherheit von Ereignissen begünstigen. Genau dies ist jedoch das Problem. Zentral für die klassische Kapitalmarkttheorie ist die Annahme normalverteilter Erträge (vgl. Textkasten). Ein Anlageinstrument ist quantifizierbar, sofern seine Standardabweichung zu ermitteln ist. Die Eintretenswahrscheinlichkeit einer bestimmten Schwankungsapmplitude kann statistischen Tabellen entnommen werden. Dieses bescheidene Instrumentarium ist die Basis, um unter Zuhilfenahme von Korrelationsbetrachtungen Anlagerisiken zu steuern.

Keine Normalverteilung

Zeitreihen von Anlageerträgen sind typischerweise nicht normalverteilt, da sie weder statisch noch stationär sind. Strukturelle Brüche, wie sie in den letzten Monaten gehäuft vorkamen, lassen sich mit dieser Annahme nicht vereinbaren, was im hier diskutierten Zusammenhang ständig unterdrückt wird. Das verdrängte Faktum gelangt aber durch empirische Evidenz wieder ans Licht: Abweichungen vom Mittelwert der Erträge, die drei Standardabweichungen (Sigma) übersteigen, werden in den erwähnten Tabellen nicht aufgeführt, obwohl es sie natürlich gibt. Der Grund dafür ist die trügerisch beruhigende Aussage, dass 99,74 Prozent aller möglichen Werte durch diesen Konfidenzrahmen erfasst sind und damit eine Überschreitung nach unten oder oben nur alle drei Börsenjahre zu erwarten sei.

Extreme Ereignisse

Tatsache ist jedoch, dass sogenannte Extremereignisse, die jenseits dieser Grenze liegen, rund sechs Mal häufiger sind, als es die Normalverteilung impliziert. Um das zu erkennen, braucht man nicht einmal die jüngste Börsenstatistik zu bemühen, wo der US-Aktienindex S&P 500 zwischen dem 15. September 2008 und dem 22.Oktober 2008 dreizehn Börsentage mit einem Sigma von über vier verzeichnete – davon je ein Tag mit den Werten sechs, sieben, acht und elf. Der «schwarze Montag», 19. Oktober 1987, war ein 24-Sigma-Ereignis mit einem Ereignishorizont von ca. 4200-mal dem heute bekannten Alter des Universums von 15 Mrd. Jahren.

Weitere gemäss Normalverteilung statistische «Unmöglichkeiten» waren die Asienkrise (1997, zehn Sigma) und die Russlandkrise (1998, acht Sigma). Wissenschaftliche Untersuchungen belegen, dass für viele Ereignisse, vor allem Extremereignisse, eine Verteilung nicht vorhanden oder nicht bekannt ist. Die bekannten Verteilungen wiederum scheinen eher Potenzialgesetzen zu folgen, beispielsweise der sogenannten T-Location-Scale-Verteilung. welche die Extremwerte besser berücksichtigt.

Die Normalverteilung von Kapitalmarkterträgen ist ein irrelevanter Sonderfall. Ihre Verwendung kann insofern irreführend sein, als dass sie über teilweise recht lange «Schönwetterperioden» eine recht gute Passform für die in dieser Zeit anfallenden Erträge darstellt. Der Punkt ist jedoch, dass die nicht erfassten Extreme die Performance dominieren.

Nur 0,3 Prozent aller Börsentage (zehn Tage) zwischen 1992 und 2007 waren für die Hälfte des kumulierten Ertrages verantwortlich. Wer die besten 1,2 Prozent (40 Tage) verpasste, erzielte ein negatives Ergebnis. Die sehr verbreitete Vorstellung, der Gesamtertrag falle stetig und in kleinen Dosen an, ist eben falsch.

Neue Ansätze sind gefragt

Nicht nur die Brauchbarkeit der Normalverteilung an sich steht auf dem Prüfstand. In ihrem Buch «Strategisches Investment Management» weisen die Autoren Pümpin und Pedergnana auf die Schwächen des Arithmetischen Durchschnittes als Erwartungswert hin. Ein weiteres grosses Problem betrifft die Annahmen bezüglich der Korrelation von Anlageprodukten: Der erwartete Diversifikationseffekt bricht oft genau in der Stressphase des Marktes weg.

Der Schluss, dass die «Mean-Variance» basierten Analyseinstrumente der Portfoliokonstruktion wenig hilfreich sind, ist schmerzhaft, aber korrekt. Die Konsequenzen sind bedeutsam. Eine gründliche Auslegeordnung der relevanten Zusammenhänge und eine kompetente Neubeurteilung helfen weiter. Der Zeitpunkt dafür ist günstig, es gibt wenig zu verlieren und ist sogar spannend. Schliesslich hat es der Menschheit auch nicht geschadet, die Vorstellung abzulegen, sie bewohne im Zentrum des Universums eine Scheibe.

Ende

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